특허 레이스의 수학적 도출

산업조직 강의 강의

• 기업 $i$ 의 기대이윤의 현재가치($V_i$)를 구해보자.

• 연구개발이 성공할 확률이 포아송 분포를 따르므로 0기에서 시작한 특허 레이스 게임이 $t$ 기에서 두 기업이 모두 연구 개발에 성공하지 못할 확률은 다음과 같다.
  *$e^{-[h(x_1)+h(x_2)]t}$

• $t$ 기까지 혁신이 일어나지 않는다면 $t$ 기까지 독점기업의 이윤은 다음과 같다.
  $[{\Pi }^m(\overline{c})-x_i]dt$

• $t$ 기까지 혁신이 일어나지 않을 확률을 곱해서 더하고 현재가치화 하면 독점으로부터 얻는 기대이윤의 현재가치가 나온다.
  ${\int }_0^{\infty }{e}^{-rt}{e}^{-[h(x_1)+h(x_2)]t}({\Pi }^m(\overline{c})-x_1)dt$

• $h(x_1)dt$ 의 확률로 독점기업이 혁신에 성공하는데 이 때 혁신 성공 후 얻을 이윤의 현재 가치는 다음과 같다.
  $\frac{{\Pi }^m(\underline{c})}{r}$

• t기에 혁신에 성공할 확률을 곱해서 모두 더하고 현재가치로 환산해주면 혁신 성공으로부터 얻을 수 있는기대 이윤의 현재가치를 구할 수 있다.
  ${\int }_0^{\infty }{e}^{-rt}{e}^{-[h(x_1)+h(x_2)]t}h(x_1)\frac{{\Pi }^m(\underline{c})}{r}dt$

• 상대방이 혁신에 성공했을 때 얻을 수 있는 기대 이윤의 현재가치 역시 마찬 가지 방법으로 구할 수 있고 이들을 모두 더하면 독점 기업의 기대이윤의 현재 가치를 구할 수 있다.

• 따라서 독점 기업의 기대이윤의 현재 가치는 다음과 같다.
  $V_1(x_1,x_2)={\int }_0^{\infty }{e}^{-rt}{e}^{-[h(x_1)+h(x_2)]t}({\Pi }^m(\overline{c})-x_1+h(x_1)\frac{{\Pi }^m(\underline{c})}{r}+h(x_2)\frac{{\Pi }^d(\overline{c},\underline{c})}{r})dt$