극대점과 극소점

내부 극대, 극소의 1계조건

정리1

$x_0$가 어떤 함수의 내부 극대점 혹은 극소점이라면 $f^{\prime }(x_0)$=0이다.

정리1의 역은 성립하지 않는다.

경계 극대, 극소점

정리1에서 내부란 경계 부분을 제외한 정의역을 의미한다. 정의역이 $[0,1]$인 다음 그림과 같은 경우에는 내부 극대점이 존재하지 않고 경계 극대점만 존재한다. 경계 극대점에서는 정리1이 성립하지 않음을 쉽게 알 수 있다.

2계 조건

정리1은 극대화 혹은 극소화의 필요조건이지 충분조건은 아니다. $f^{\prime }(x)=0$이면 극대점일 수도, 극소점일 수도 있고, 혹은 둘 다 아닐 수도 있다. 셋 중 어떤 쪽인지를 판별하기 위해서는 2계 조건을 검토해야 한다.

정리2

(a) $f^{\prime }(x_0)=0$이고 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$이면 $x_0$ 는 극대점이다.
(b) $f^{\prime }(x_0)=0$이고 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$이면 $x_0$ 는 극소점이다.
(c) $f^{\prime }(x_0)=0$이고 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$이면 $x_0$ 는 극대점이거나 극소점이거나 둘 다 아니다.

예제

$f(x)=x^3$, $f(x)=x^4$, $f(x)=-x^3$, $f(x)=-x^4$의 그래프를 그려서 정리2의 (c)를 확인해보라.