열린 집합과 내부

정의

$\epsilon$-구
${\mathbb{R}}^m$의 원소인 벡터 $r$과 어떤 양수인 $\epsilon$에 대하여 $r$ 주위의 $\epsilon$-구는 다음과 같이 정의된다.
$B_{\epsilon }(r)\equiv \{x\in {\mathbb{R}}^m:\Vert x-r\Vert <\epsilon \}$

정의

열린 집합
${\mathbb{R}}^m$의 어떤 부분 집합 $S$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x$ 주위에 완전히 $S$에 포함되는 $\epsilon$-구가 존재하면 $S$를 열린 집합이라고 부른다. 즉 다음 조건이 성립할 때 $S$가 열려 있다.
$x\in S⟹B_{\epsilon }(x)\subset S인\epsilon >0이존재한다.$

예를 들어 어떤 구간 $(a,b)$ 는 열려 있고, $(a,b]$는 열려 있지 않다.

정리1

열린 집합들의 합집합은 열려있다.

정의

내부
$S$가 ${\mathbb{R}}^m$의 부분집합이라고 하자. $S$에 속해 있는 모든 열린 부분집합들의 합집합을 $S$의 내부라고 한다.

정의 상 내부는 $S$ 의 부분집합 중 가장 큰 열린 집합이다. 예를 들어 어떤 구간 $(a,b]$의 내부는 $(a,b)$이다.