자연대수와 경제학에의 응용

$e$ 와 경제학에의 응용

매 해 $r$% 의 이자율로 이자가 붙는 통장에 추가 저축이나 인출 없이 $A$원을 다고 하면

• 1년 후 통장에는 $A(1+r)$원이 있을 것이다.
• 2년 후에는 $A(1+r{)}^2$원이 있을 것이다.
• $t$년 후에는 $A(1+r{)}^t$원이 되어 있을 것이다.

이번에는 1년에 이자가 여러 번 붙는다고 생각해보자.

• 1년에 4번 이자가 붙는다면 1년 후 통장에는 $A(1+\frac{r}{4}{)}^4$원이 있을 것이다.
• 1년에 n번 이자가 붙는다면 1년 후 통장에는 $A(1+\frac{r}{n}{)}^n$원이 있을 것이다.
• 1년에 n번 이자가 붙는다면 $t$년 후 통장에는 $A(1+\frac{r}{n}{)}^{nt}$원이 있을 것이다.

만일 은행이 이자를 연속적으로 준다면 어떻게 될까?

• 다시 말해서 $n$을 무한히 증가시키면 어떻게 될까?
  ${\lim }_{n\to \infty }A(1+\frac{r}{n}{)}^{nt}$

자연대수 $e$는 경제학에서 매우 중요한 역할을 한다.

$e\equiv {\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n=\mathrm{2.7182818......}$

• $f(x)=e^x$ 는 지수함수(exponential function)라고 불리며 흔히 $exp(x)$로 쓴다.
• $n=mr$ 로 두면 다음의 사실을 알 수 있다.
  $(1+\frac{r}{n}{)}^n=(1+\frac{1}{m}{)}^{mr}=((1+\frac{1}{m}{)}^m{)}^r$
  ${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{r}{n}{)}^n=({\lim }_{m\to \infty }(1+\frac{1}{m}{)}^m{)}^r=e^r$
  ${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{r}{n}{)}^{nt}=({\lim }_{m\to \infty }(1+\frac{r}{m}{)}^m{)}^{rt}=e^{rt}$
• 은행이 이자를 연속적으로 준다면 $t$ 년 후에 $e^{rt}A$ 만큼의 돈이 통장에 있을 것이다.