포아송 분포

• 어떤 사건이 $t$ 기간 내에 평균적으로 $rt$ 번 일어난다고 하면 $t$ 기간 내에 이 사건이 $k$ 번 일어날 확률은
  $\frac{(rt{)}^k{e}^{-rt}}{k!}$
• 예를 들어 버스가 무작위로 오는데, 평균적으로 5분에 한 대씩 온다고 하자.($r=\frac{1}{5}$) 이 때 니가 5분 내에 버스를 못 탈 확률은
  $\frac{1^0{e}^{-1}}{0!}=\frac{1}{e}=\mathrm{0.367879...}$
• 10분 내에 버스를 못 탈 확률은
  $\frac{2^0{e}^{-2}}{0!}=\frac{1}{e^2}=\mathrm{0.135335...}$

(참고) 평균 버스 기다리는 시간

• $N_t$: $t$ 기간 내에 버스가 오는 횟수
• $X_t$: $t$ 시점에 정류장에 도착한 니가 다음 버스를 기다리는 시간
• 정의 상 다음 두 식은 동치다.
  $(X_t>x)\equiv (N_t=N_{t+x})$
• 이를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
  $P(X_t\le x)=1-P(X_t>x)=1-P(N_{t+x}-N_t=0)$
• 이 때 $P(N_{t+x}-N_t=0)$ 는 $P(N_x=0)$ 과 같고 이는 위에서 살펴 본 $x$ 분 내의 버스를 못 탈 확률, 즉 포아송 분포를 의미한다. 따라서
  $P(X_t\le x)=1-e^{-rx}$
• 이것이 지수분포의 누적확률분포함수이며 지수분포를 따르는 확률변수의 평균은 $\frac{1}{r}$ 이다. 즉, 평균적으로 5분에 한 대 오는 버스를 기다리는 시간은 평균적으로 5분이다.
• 버스가 고정적으로 5분에 한 대 씩 오고 니가 임의의 시간에 버스 정류장에 도착했을 때 평균적인 대기 시간과 헷갈리지 말자.
• 이 경우 평균 대기 시간은 당연히 2.5분이다.