기대효용이론의 수학적, 철학적 논의

폰 노이만-모겐스턴 효용 정리

폰 노이만-모겐스턴 합리성 공리

완비성 모든 $L$과 $M$에 대해서 $L⪰M$ 또는 $M⪰L$이 성립한다.
이행성 만일 $L⪯M$이고 $M⪯N$이면 $L⪯N$ 이다.
연속성 만일 $L⪰M⪰N$이면 $pL+(1-p)N\sim M$이 되게 하는 $p\in [0,1]$가 존재한다.
독립성 어떠한 $M$과 $p\in [0,1]$에 대해서도 $(1-p)L+pM⪯(1-p)N+pM$가 $L⪯N$의 필요충분 조건이다.

폰 노이만과 모겐스턴은 위의 합리성 공리가 성립할 때 다음이 성립함을 증명하였다.

폰 노이만-모겐스턴 정리

$Eu(L)=p_{1}u(A_1)+\cdots +p_{n}u(A_n)$일 때, 어떠한 합리적인 경제 주체에 대해서도, $E(u(L))<E(u(M))$이 $L\prec M$ 의 필요충분조건인 효용함수 $u$가 존재한다.

폰 노이만-모겐스턴 효용함수는 기수적인가?

기대값이 결정되려면 서로 다른 이득의 효용을 더해야 하기 때문에 기수성이 필요해 보인다. 실제 이 때문에 기대효용함수를 기수적이라고 표현하지만 여전히 서수적이라고 써놓는 책도 볼 수 있다.

서수적 효용함수는 단조증가변환을 해도 같은 선호체계를 대표한다. 그런데 기대효용함수는 선형변환(아핀변환Affine transformation)만 허용한다. 구체적으로 기대효용함수 $u(x)$가 있을 때 $au(x)+b$ 형태로 변환을 해도 같은 효용함수인데 이를 간격적 효용이라고 따로 구분하기도 한다. 예를 들어 섭씨와 화씨 온도는 눈금을 당기고($a$를 곱한 것) 영점을 옮긴 것($b$를 더한 것)인데 두 체계로 잰 온도는 본질적으로 같은 것인데 선형변환된 것일 뿐이다.

구분	설명
순서적(Ordinal)	단조 증가 함수로 변형 가능
간격적(Interval)	$au+b$ 형태로 변형 가능
비율적(Ratio)	$au$ 형태로만 변형 가능

폰 노이만-모겐스턴 효용함수는 왜 선형변환만 허용할까? 그것은 기대효용이론이 효용 값들의 평균을 전제하고 있기 때문이다. 어떤 효용 값들의 평균을 구했으면 효용함수를 변환했을 때 변환된 평균은 여전히 변환된 효용 값들의 평균이어야 평균이 평균으로서의 의미를 가지게 된다. 다시 말해 변환 $f$에 대해 다음이 성립해야 한다.

$f(\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n})=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}$

이것을 만족하는 변환은 선형변환 밖에 없다.

정리하자면 폰 노이만-모겐스턴 효용함수는 눈금을 늘리거나 영점을 옮기는 것은 허용하지만 눈금을 휘는 것은 허용하지 않는데 이는 더하고 빼고 곱하는 것을 의미있게 만들기 위해서다. 효용을 더하고 빼고 곱하는 것은 서수적 허용에서는 아무런 의미가 없다. 더하고 빼고 곱하는 것에 의미를 부여하는 순간 그 효용은 기수적이라고 보는 것이 타당할 것이다.

한계효용체감과 위험기피성의 관계

효용함수의 한계효용체감과 폰 노이만-모겐스턴 효용함수의 위험기피성은 수학적으로는 동치이나 서로 다른 형태의 효용함수에 서로 다른 맥락에서 적용된 것이다. 따라서 둘의 관계는 수학적으로 같아보일 뿐 개념적으로는 비교할 수 없는 층위에 있다고 볼 수 있다.

기대효용 이론은 심리학적, 철학적으로 타당한가?

소비자 선택 이론의 공리 하나하나가 이미 철학적, 심리학적 지뢰밭이다.

사람은 완비성을 가정하기에는 큰 인식론적 한계를 지니고 있다. 때로는 “판단 보류”도 합리적인 선택일 수 있고 어떤 영역은 애초에 관심이 없을 수도 있다. 행동경제학자들은 선호체계가 생각보다 일관성이 없다는 사실을 발견하였는데 이는 완비성과 이행성에 위배되는 것이다.

연속성은 실제 존재하지 않는 조합까지 고려하는데 만일 실재론을 받아들인다면 이는 큰 문제가 된다. 사람은 바퀴벌레가 음식에 섞여 있다면 무조건 혐오감을 느끼지 한 마리가 있을 때 두 마리가 있을 때에 비해 덜 혐오감을 느끼지는 않는다. 즉 혐오감은 비연속적일 수 있다.

기대효용 이론에서 추가된 가정들 역시 마찬가지이다. 연속성과 독립성 가정은 행동경제학자들의 직접적인 공격 대상이 되었다.

근본적으로 철학자들은 효용 실존하는가 자체에 대해서도 논쟁을 한다. 만일 실존한다면 효용이란 무엇일까?

심리학자나 행동경제학자들은 효용이라는 개념은 심리의 복잡성과 불안정성을 무시한 추상화라고 비판한다. 인간 행동에 대한 최전선에 있는 학문은 효용의 실존을 부정하는 것이다. 만일 효용이 실존하는 것이 아닌 분석적 구성물이라면 그것이 검증 가능하고 설명력, 예측력이 있어야 유용할텐데 행동경제학자들은 둘 다 회의적이다.

효용 개념은 윤리적으로도 문제가 되는데 일찍이 밀은 효용 개념의 문제를 눈치채고 도덕적 방향으로 확장하려고 시도하였고, 아마티야 센은 효용 개념은 정의롭지 못하다고 비판하였다.

기대효용이론이 사용하는 확률의 개념도 애매모호하다. 확률은 사건 발생의 객관적 확률일 수도 있고, 주관적 믿음의 정도일 수도 있는데 어느 쪽이냐에 따라서 다시 논쟁은 불붙을 수 있다.