도함수와 그래프의 모양

증가, 감소함수

정리

도함수와 증가, 감소함수

어떤 함수 $f$가 어떤 구간 $(a,b)$에서 연속이고 미분가능할 때,
(a) 만일 $f^{\prime }>0$이면 이 구간에서 $f$는 증가한다.
(b) 만일 $f^{\prime }<0$이면 이 구간에서 $f$는 감소한다.

예제

위 정리를 이용하여 다음 함수의 그래프를 그려보라.
$f^{\prime }(x)=3x^2-3x$

볼록함수와 오목함수

증가함수: 오목한 모양과 볼록한 모양

감소함수: 오목한 모양과 볼록한 모양

정의

볼록함수와 오목함수
어떤 구간 $I$가 있을 때 모든 $a,b\in I$와 $t$에 대해 다음이 성립한다면 함수 $f$를 볼록함수라고 한다.
$f((1-t)a+tb)\le (1-t)f(a)+tf(b)$

다음이 성립한다면 함수 $f$를 오목함수라고 한다.
$f((1-t)a+tb)\ge (1-t)f(a)+tf(b)$

2계 도함수와 오목, 볼록함수

(a) 함수가 볼록하다는 것은 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$과 동치이다.
(b) 함수가 오목하다는 것은 $f^{\prime \prime }(x)\le 0$과 동치이다.

예제

다음과 같은 특징을 가진 함수의 그래프를 그려보라.
a) $f^{\prime }(x)>0$ for $x<1$
b) $f^{\prime }(x)<0$ for $x>1$
c) $f^{\prime \prime }(x)<0$ for $x<2$
d) $f^{\prime \prime }(x)>0$ for $x>2$