동차함수와 오일러 정리

정의

$k$차 동차함수

모든 $x_i$와 양수 $t$에 대해
$f(t{x}_1,\dots ,t{x}_n)=t^{k}f(x_1,\dots ,x_n)$
이면, $f$를 $k$차 동차함수라 한다.

예제

생산함수가 k차 동차함수인 경우 규모수익이 (체증, 불변, 체감)한다.

정리

오일러 정리

$k$차 동차함수 $f$에 대해 다음이 성립한다:
$\sum x_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=kf(x)$

증명을 위한 힌트
k차 동차함수 정의의 양변을 t로 미분한 후 t에 1을 대입하면 쉽게 증명이 된다.
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