동차함수

정의

$k$차 동차함수
어떤 실수 $k$에 대해 다음이 성립하면 함수 $f$를 $k$차 동차함수라고 부른다.

$$모든x_1,...,x_n과모든t>0에대해f(t{x}_1,...,t{x}_n)=t^{k}f(x_1,...,x_n)$$

예제

$z=a{x}_1^{k_1}{x}_2^{k_2}{x}_3^{k_3}$ 는 동차함수인가? 그렇다면 몇차 동차함수인가?

예제

$f(x_1,x_2)=30x_1^{1/2}{x}_2^{3/2}-2x_1^3{x}_2^{-1}$ 는 동차함수인가? 그렇다면 몇차 동차함수인가?

정리1

미분가능한 함수 $y=f(x_1,...,x_n)$가 $k$차 동차함수라면, 편미분한 함수는 $k-1$차 동차함수이다.

정리2

미분가능한 동차함수 $y=f(x_1,x_2)$에 대해서 원점으로부터 그은 직선을 따라서 레벨 집합(Level Set)의 접선의 기울기는 동일하다.

증명
이해를 돕기 위해 $k$차 동차인 생산함수 $f(L,K)$를 이용하여 증명해보자. 정리2를 생산함수에 적용하면 한계기술대체율이 원점에서 그은 직선을 따라서 모두 동일하다는 의미다. $(L_1,K_1)=(t{L}_0,t{K}_0)$라고 하면 두 점은 원점에서 그은 선상에 위치한다. 연쇄법칙에 의해 다음이 성립한다.

$$(L_1,K_1)에서한계대체율=\frac{f_L^{\prime }(L_1,K_1)}{f_K^{\prime }(L_1,K_1)}$$ $$=\frac{f_L^{\prime }(t{L}_0,t{K}_0)}{f_K^{\prime }(t{L}_0,t{K}_0)}((L_1,K_1)의정의)$$ $$=\frac{t^{k-1}{f}_L^{\prime }(L_0,K_0)}{t^{k-1}{f}_K^{\prime }(L_0,K_0)}(정리1)$$ $$=\frac{f_L^{\prime }(L_0,K_0)}{f_K^{\prime }(L_0,K_0)}$$

이는 $(L_0,K_0)$에서 한계대체율이다. (증명 끝)

정리2는 변수가 $n$개 있을 때에도 성립한다.