연쇄 법칙(Chain Rule)

연쇄 법칙

연쇄법칙(Chain Rule)

$h(x)=f(g(x))$ 일 때 다음이 성립한다.
$\frac{dh}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}$

Quote

만일 자동차가 자전거보다 두 배 빠르고, 자전거는 사람보다 네 배 빠르다면, 자동차는 사람보다 $2\times 4=8$ 배 빠르다.

- G.F. Simmons

변수가 두 개일 때 연쇄 법칙

연쇄법칙(Chain Rule)

$h(x)=f(g_1(x),g_2(x))$ 일 때 다음이 성립한다.
$\frac{dh(x)}{dt}=\frac{\partial f}{\partial g_1}{g}_1^{\prime }(x)+\frac{\partial f}{\partial g_2}{g}_2^{\prime }(x)$

효용함수의 예

효용함수 $U(x,y)$가 있을 때 무차별곡선은 다음과 같이 표시할 수 있다.
$\overline{U}=u(x,y)$
이 식에서 $y$는 $x$의 함수로 볼 수 있고 따라서 다음과 같이 표현할 수 있다.
$\overline{U}=u(x,y(x))$
연쇄법칙을 적용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac{d\overline{U}}{dx}=M{U}_x+M{U}_y\frac{dy}{dx}$

$\overline{U}$는 상수이므로 다음 식이 유도된다.

한계대체율과 한계효용의 관계

$MR{S}_{xy}=\frac{M{U}_x}{M{U}_y}$

생산함수의 예

생산함수 $Q=f(L,K)$가 있을 때 등량곡선은 다음과 같이 표시할 수 있다.
$\overline{Q}=f(L,K)$
이 식에서 $K$는 $L$의 함수로 볼 수 있고 따라서 다음과 같이 표현할 수 있다.
$\overline{Q}=f(L,K(L))$
연쇄법칙을 적용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac{d\overline{Q}}{dL}=M{P}_L+M{P}_K\frac{dK}{dL}$

$\overline{Q}$는 상수이므로 다음 식이 유도된다.

한계기술대체율과 한계생산의 관계

$RT{S}_{L,K}=\frac{M{P}_L}{M{P}_K}$

변수가 $n$ 개일 때 연쇄 법칙

연쇄법칙(Chain Rule)

$h(x)=f(g_1(x),g_2(x),...,g_n(x))$ 일 때 다음이 성립한다.
$\frac{dh(x)}{dt}={\sum }_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial g_i}{g}_i^{\prime }(x)$