포락선 정리(Envelope Thorem)

다음과 같은 극대화 문제를 생각해보자.

${\max }_{x}f(x;a)$

포락선 정리

$x^{\ast }(a)$가 이 극대화 문제의 해답이라고 할 때 다음이 성립한다.
$\frac{d}{da}f(x^{\ast }(a);a)=\frac{\partial }{\partial a}f(x^{\ast }(a);a)$

증명

연쇄 법칙(Chain Rule)에 의해
$\frac{d}{da}f(x^{\ast }(a);a)=\frac{\partial }{\partial x}f(x^{\ast }(a);a)\frac{\partial x^{\ast }(a)}{\partial a}+\frac{\partial }{\partial a}f(x^{\ast }(a);a)=\frac{\partial }{\partial a}f(x^{\ast }(a);a)$
왜냐하면 1계 조건에 의해 $\frac{\partial }{\partial x}f(x^{\ast }(a);a)$ 는 0이기 때문이다.

Hotelling's lemma

• 기업이 이윤을 극대화한다면 이윤은 다음과 같이 표현할 수 있다.
  $\pi (p)={\max }_L[p\cdot f(L)-w\cdot L]$

• 이윤을 극대화하는 노동 투입량을 $L^{\ast }(p,w)$라고 한다면 극대화된 이윤식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
  $\pi (p,L^{\ast }(p,w))=p\cdot f(L^{\ast }(p,w))-w\cdot L^{\ast }(p,w)$

• 이 때 $p$로 극대화된 이윤을 미분하면 연쇄법칙과 이윤극대화의 1계 조건으로부터
  $\frac{d\pi }{dp}=\frac{\partial \pi }{\partial L}\cdot \frac{\partial L}{\partial p}+\frac{\partial \pi }{\partial p}=f(L^{\ast }(w,p))$
  마찬가지로 포락선 정리에 의하면
  $\frac{d\pi }{dw}=\frac{\partial \pi }{\partial w}=L^{\ast }(p,w)$

제약이 있는 경우 포락선 정리

• 포락선 정리는 제약이 있는 경우에는 라그랑지 함수에 대해 성립한다.
• $\lambda$가 라그랑지 승수일 때,
  $\frac{d}{da}f(x^{\ast }(a);a)=\frac{\partial }{\partial a}L(x^{\ast }(a),\lambda (a);a)$

비용 극소화 문제의 예

$mi{n}_{L,K}wL+vKs.t.Q=f(L,K)$

• 라그랑지 함수는
  $L=wL+vK+\lambda (Q-f(L,K))$
• 비용 극소화 문제의 해답이 비용함수이다.
  $C(Q,w,v)=w{L}^{\ast }(Q,w,v)+v{K}^{\ast }(Q,w,v)$
• 이 때 한계비용을 구해보자. 포락선 정리에 의해
  $\frac{dC(Q,w,v)}{dQ}=\frac{\partial L(Q,w,v)}{\partial Q}=\lambda$
• 라그랑지 승수가 곧 한계비용임을 알 수 있다.
• 효용극대화 문제에서 라그랑지 승수는 아무런 의미가 없는데 왜 그럴까? 한 번 생각해보자.

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